Lehrplan Mathematik, Grund- und Leistungsfach, 1998 Rheinland-Pfalz im Internet

Der Unterricht in der gymnasialen Oberstufe soll die Schülerinnen und Schüler zur allgemeinen Studierfähigkeit führen, ihnen eine berufliche Orientierung ermöglichen und zur Entwicklung ihrer Persönlichkeit in sozialer Verantwortung beitragen. Dazu ist der Erwerb fachlicher, methodischer und sozialer Kompetenzen erforderlich. Der Mathematikunterricht leistet zum Erwerb dieser Kompetenzen einen wesentlichen Beitrag. Die Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts in der gymnasialen Oberstufe lassen sich auf die folgenden drei Schwerpunkte konzentrieren. Sie erfahren im Grundfach und im Leistungsfach eine unterschiedliche Gewichtung (vgl. Seite 13).

Die Mathematik war in ihrer historischen Entwicklung, ausgehend von praktischen Notwendigkeiten des Zählens und Messens, von Anfang an eingebunden in das Bemühen der Menschen, Vorgänge und Zusammenhänge in der sie umgebenden Welt zu verstehen und zu beeinflussen. Mit der Entwicklung der Naturwissenschaften und der Technik ist sie untrennbar verbunden; die großen Leistungen auf diesen Gebieten sind ohne Mathematik nicht denkbar. Heute durchdringen mathematisches Denken und mathematische Methoden auch weite Bereiche der Sozial- und Gesellschaftswissenschaften, der Humanwissenschaften sowie des ökologischen und wirtschaftlichen Planens und Handelns.

Im Mathematikunterricht soll in vielfältiger Weise die Anwendungsrelevanz von fachspezi-fischen Kenntnissen und Fähigkeiten erfahren werden. Mit Blick auf die allgemeine Studierfähigkeit ist wichtig, dass die Bedeutung der Mathematik als Hilfswissenschaft in einer zunehmenden Zahl anderer Wissenschaftsgebiete bewusst gemacht wird. Der Mathematikunterricht muss aber auch aufzeigen, dass und in welcher Weise Mathematik einen entscheidenden Beitrag zur Berufsvorbereitung leistet.

Eine weitere Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, Schülerinnen und Schülern den Prozess des Mathematisierens nahe zu bringen. Wo sich mathematische Mittel anbieten, ein Sachproblem zu strukturieren, wesentliche Aspekte eines komplexen Sachverhalts in einem Modell darzustellen und eine Lösung zu suchen, können Wechselbeziehungen zwischen Theorie und Praxis erfahren werden. Durch die Beschäftigung mit der historischen Entwicklung der Mathematik wird deren geistesgeschichtliche Bedeutung als Kulturgut deutlich und die wechselseitige Befruchtung von reiner Wissenschaft und Anwendungen erfahren.

Die Schülerinnen und Schüler müssen als Grundlage für Anwendungen über die erforderlichen mathematischen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verfügen. Dies umfasst auch, dass sie geometrische, grafische, numerische und algebraische Hilfsmittel sachgerecht einsetzen. Sie sollen Beziehungen zwischen einem außermathematischen Sachverhalt und der Mathematik herstellen, das Problem mit mathematischen Mitteln bearbeiten, gefundene Lösungen interpretieren und kritisch beurteilen. Dabei sollten auch Grenzen der fachspezifischen Verfahren und Grenzen der Mathematisierung erkannt werden.

Weil die Anwendungen von Mathematik für den Unterricht von zentraler Bedeutung sind, ist dem "Problemlösen mit mathematischen Methoden – Modellbildung" im Lehrplan ein eigenes Kapitel gewidmet (vgl. Seite 18).

Die Mathematik beschäftigt sich mit Gegenständen und Sachverhalten, die Produkte des menschlichen Geistes sind. Durch formales Operieren mit abstrakten Begriffen und Beziehungen gelangt man mit Hilfe der Logik zu folgerichtigen Aussagen. Die Auseinandersetzung mit Mathematik gewährt einen Einblick in deduktiv geordnete Strukturen und lässt Methoden wissenschaftlichen Arbeitens erfahren.

Der Mathematikunterricht soll zu exaktem Denken anleiten und rationale, objektive Betrachtungsweisen bewusst machen. Im Sinne einer Wissenschaftspropädeutik soll ein Einblick in den strukturellen Aufbau und die grundlegenden Methoden der Mathematik gewonnen werden. Das Einbeziehen von historischen Betrachtungen, in denen das Ringen um exakte Begriffsbildungen, um abgesicherte Grundlagen und um lückenlose Beweise in der Geschichte der Mathematik
erfahrbar wird, weitet den Blick für die kulturelle Bedeutung dieser Wissenschaft. Das Beschäf-tigen mit Mathematik soll aber auch als Tätigkeit erfahren werden, die um ihrer selbst willen
betrieben wird und Freude bereiten kann.

Die Schülerinnen und Schüler müssen als Grundlage für den Aufbau der Schulmathematik die notwendigen Begriffe und Aussagen kennen und sachgerecht verwenden. Sie sollen die mathematische Fachsprache verstehen und anwenden, deren Zweckmäßigkeit für die Beschreibung mathematischer Sachverhalte erkennen und ferner erfahren, dass die Benutzung exakt definierter Fachbegriffe die Kommunikation erleichtert und Missverständnisse vermeiden hilft.

Um einen Einblick in die Mathematik als Wissenschaft zu gewinnen, ist es notwendig, dass die Schülerinnen und Schüler

• erkennen, auf welche Weise mathematische Begriffe gewonnen und in Definitionen präzise beschrieben werden.
• Beweise verstehen, nachvollziehen und in einfachen Fällen auch selbständig erstellen. Dabei sollen sie auch lernen, folgerichtig und lückenlos zu argumentieren. Im Vergleich mit anderen Fächern kann hinterfragt werden, unter welchen Bedingungen eine Aussage jeweils als gültig anerkannt wird.
• Leitgedanken und Leitlinien der Mathematik (z.B. Funktion und Abbildung, Algorithmus, Approximation) in verschiedenen Zusammenhängen erkennen. Auch hier sind historische Rückblicke zu empfehlen.
• an Beispielen einen Einblick in den strukturellen Aufbau der Mathematik gewinnen. Dies lässt sich z.B. erreichen durch das "lokale Ordnen" von Definitionen und Sätzen zu einem deduktiven Gefüge in überschaubarem Rahmen.

Die Mathematik hat in ihrer mehrtausendjährigen Geschichte Denken und Handeln der Menschen nachhaltig beeinflusst. In der Wechselwirkung zwischen reiner und angewandter Mathematik entfaltet sich das Streben des menschlichen Geistes, einerseits Probleme aus der ihn umgebenden Welt zu erfassen und zu lösen, andererseits zweckfrei abstrakte Zusammenhänge zu erkunden und allgemeine Strukturen zu entdecken. Die geistige Herausforderung, die die Beschäftigung mit Mathematik begleitet, kann eine Schulung des Denkens bewirken.

Der Mathematikunterricht hat auch die Aufgabe, allgemeine geistige Fähigkeiten, die über das Fach hinausführen, zu entwickeln und zu fördern. Die in Anwendungsbezügen genutzten Strate-gien (z.B. heuristische Verfahren) sollen so weit bewusst gemacht und verinnerlicht werden, dass sie auf das Verhalten in allgemeinen Problemlösesituationen übertragen werden können. Mathematische Denkleistungen im Unterricht (z.B. folgerichtiges Argumentieren, Orientierung an einmal getroffenen Festlegungen) sollen sich auf die allgemeine Praxis des Denkens positiv auswirken. Dieser Transfer stellt sich aber nicht zwingend und nicht von selbst ein. Entscheidend für einen möglichen Transfer ist, dass er bewusst angestrebt und durch geeignete unterrichtliche Maßnahmen unterstützt und gefördert wird (vgl. "Unterrichtsgestaltung und Unterrichtsmethoden", Seite 11).

Die Schülerinnen und Schüler sollen durch den Mathematikunterricht unterstützt werden, allgemeine geistige Fähigkeiten zu entwickeln, zu erweitern oder zu vertiefen. Hierzu gehören vor allem allgemeine Strategien des Problemlösens, die auch in außermathematischen Situationen angewendet werden können. Ferner sollen Anschauungsvermögen, Abstraktionsvermögen, logisches Denken und sachliches Argumentieren gefördert werden. In diesem Zusammenhang kann der Mathematikunterricht auch einen wichtigen Beitrag zur allgemeinen Spracherziehung der Schülerinnen und Schüler leisten. Mündliche Äußerungen und Referate, schriftliche Ausarbeitungen, mathematische "Aufsätze" und Facharbeiten tragen zur Verbesserung der sprachlichen Kompetenz bei.

Möglichkeiten der Persönlichkeitsbildung zu schaffen, ist schließlich auch Aufgabe und Ziel des Mathematikunterrichts. Durch die Beschäftigung mit Mathematik können z.B. Konzentrationsfähigkeit und Beharrlichkeit, Sachlichkeit, Kreativität und Selbständigkeit gefördert werden. Durch das gemeinsame Suchen und Bemühen um die Lösung eines mathematischen Problems in der Gruppe können die Schülerinnen und Schüler Qualifikationen wie Kommunikationsfähigkeit, Kooperationsbereitschaft, intellektuelle Redlichkeit, Bescheidenheit, kritische Einstellung gegenüber der eigenen Leistung erwerben. Die Entwicklung solcher Persönlichkeitsmerkmale wird aber nur erreicht, wenn der Lernprozess entsprechend organisiert, der Unterricht geeignet geplant und gestaltet ist. Deshalb wird auf diese Ziele des Mathematikunterrichts im Abschnitt "Unterrichtsgestaltung und Unterrichtsmethoden" noch einmal eingegangen.

Damit das Fach Mathematik seinen Beitrag zum Bildungsauftrag des Gymnasiums voll entfalten kann, darf es mit seinen Zielen und Inhalten im Fächerkanon nicht isoliert gesehen werden. Dieser Anspruch erwächst vor allem aus zwei Feststellungen.

Zum einen steht die Mathematik in vielfältigen Wechselbeziehungen zu anderen Wissenschaften. Dies muss auch im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe erfahrbar werden, und zwar sowohl in seiner fachspezifischen Gestaltung als auch in fächerverbindenden Unterrichtsvorhaben. Um den weitreichenden Anwendungsbezug der Mathematik deutlich werden zu lassen, müssen, wo immer dies möglich ist, Querverbindungen zu anderen Wissensgebieten aufgezeigt werden. Die Anwendungsbeispiele zu mathematischen Themen sollen sich an Sachverhalten orientieren, die den Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang spielt auch die mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von Anwendungspro-blemen eine wichtige Rolle. Auf welche Weise sie im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe entwickelt und trainiert wird, ist im Kapitel "Problemlösen mit mathematischen Methoden – Modellbildung" (Seite 18) dargestellt.

Zum anderen erfordern die komplexen Strukturen und Vernetzungen in allen Bereichen von
Gesellschaft, Wissenschaft und Technik in zunehmendem Maß ein Denken in übergreifenden
Zusammenhängen. Schülerinnen und Schülern müssen im Unterricht immer wieder ganzheitliche Erfahrungen ermöglicht werden, weil sie mehr als rein fachimmanente Arbeitsweisen der Realität entsprechen. Indem auch an den Mathematikunterricht der Anspruch gestellt wird, zur Bewältigung von Lebenssituationen beizutragen, darf er nicht vorrangig auf eine Anhäufung von isoliertem Einzelwissen abzielen, sondern muss Einsichten in Zusammenhänge entstehen lassen. Darüber hinaus müssen mathematische Begriffe und Verfahren, die in anderen Fächern benötigt werden, bereitgestellt werden.

Ein sich an realen Lebenssituationen orientierender Mathematikunterricht schließt selbstverständlich auch die Nutzung neuer Medien und Technologien ein (vgl. "Computer im Mathematikunterricht", Seite 16). Der Umgang mit algorithmischen Verfahren, mit fachübergreifend einsetzbarer Software und mit neuen Informations- und Kommunikationstechniken verdeutlicht den Schülerinnen und Schülern, wie diese Werkzeuge und Hilfsmittel in den verschiedensten Bereichen zur Problemlösung eingesetzt werden können, welcher Nutzen daraus zu ziehen ist und welche Gefahren unter Umständen damit verbunden sind. Dadurch werden über die fachlichen Grenzen hinaus Fragen nach Sinn und Verantwortbarkeit wirtschaftlich-technisch bestimmten Handelns aufgeworfen.

Wie die Bedeutung des Fachs Mathematik im fachübergreifenden Kontext für die Schülerinnen und Schüler in entsprechenden Unterrichtseinheiten konkret erfahrbar werden kann, ist im Kapitel "Fachübergreifendes und fächerverbindendes Lernen" (Seite 72) exemplarisch dargestellt.

Die in den vorangegangenen Abschnitten beschriebenen Aufgaben des Mathematikunterrichts werden nicht erfüllt, wenn Kenntnisse und Fertigkeiten ausschließlich in einer an der Fachsystematik orientierten Abfolge dargeboten und von den Schülerinnen und Schülern rezipiert werden. Ob die anzustrebenden Ziele erreicht werden oder nicht, hängt entscheidend von der Gestaltung des Unterrichts und von den Unterrichtsmethoden ab.

Problemorientierung und entdeckendes Lernen sind grundlegende Prinzipien der Unterrichtsgestaltung. Die Schülerinnen und Schüler sollen angeregt werden zum Probieren, Vermuten, Entdecken, Argumentieren, Begründen; sie sollen lernen, Fragen und Lösungsstrategien zu entwickeln und zu formulieren. Dazu müssen immer wieder Anlässe geschaffen werden, über eine Sache zu sprechen. Deshalb ist es notwendig, dass im Mittelpunkt eines Lernprozesses ein Problem (Sachproblem oder innermathematische Fragestellung) steht, das die Schülerinnen und Schüler motiviert, sich mit dem Gegenstand auseinanderzusetzen und Antworten oder Lösungen zu suchen.

Selbständigkeit und Selbsttätigkeit der Schülerinnen und Schüler können darüber hinaus dazu beitragen, dass Mathematikunterricht erfolgreich ist. Wenn die aktive Auseinandersetzung der Schülerinnen und Schüler mit Problemsituationen Ausgangspunkt für das Erschließen mathematischer Aussagen, Verfahren und Methoden ist, werden der Verstehensprozess erleichtert, tiefere Einsichten gewonnen und Freude am Fach geweckt. Formen offenen Unterrichts können die Fähigkeit, selbständig Lernprozesse zu organisieren oder an der Organisation von Lernprozessen zu partizipieren, fördern.

Die Sozialkompetenz der Schülerinnen und Schüler wird vor allem durch Partner-, Gruppen- und Teamarbeit gestärkt. Das gemeinsame Anpacken neuer Probleme, das Ringen in der Gruppe um geeignete Lösungswege, die Notwendigkeit, andere mit ihren Meinungen ernst zu nehmen und das Bewusstsein, gemeinsam ein Problem bewältigt zu haben, wirken sich positiv auf das Sozialverhalten der Lernenden aus; diese Erfahrungen fördern Kommunikationsfähigkeit, Teamfähigkeit und Kooperationsbereitschaft.

Unterrichtsmedien, sinnvoll eingesetzt, können den Mathematikunterricht bereichern und den Lernprozess unterstützen. Sie ergänzen das Lehrbuch, dienen der Motivation und Veranschaulichung, erweitern die Möglichkeit der Selbsttätigkeit und der Gruppenarbeit, entlasten von sinnleerem Kalkül und öffnen Wege zu anwendungsorientiertem, fachübergreifendem Unterricht. Zu den Unterrichtsmedien gehören z.B. Tabellen, Formelsammlungen und Handbücher, Zeitungen und Zeitschriften, statistische Datensammlungen, Quellentexte und Materialien aus der Arbeitswelt. Den vielseitigen Möglichkeiten, Computer und Taschenrechner im Unterricht einzusetzen, ist in diesem Lehrplan ein eigenes Kapitel gewidmet (vgl. Seite 16). Die Lehrerinnen und Lehrer sollen darüber hinaus Angebote nutzen, neue Informations- und Kommunikationstechniken im Mathematikunterricht zu erproben.

Regelmäßige Übungen und Wiederholungen im Unterricht und in den Hausaufgaben sind zur Festigung von Kenntnissen, zum sicheren und schnellen Vollzug von Fertigkeiten und zum Anwenden erworbener Fähigkeiten unabdingbar. Bei der Bearbeitung der Übungen ist ein hohes Maß an Selbständigkeit zu fordern. Die Hausaufgaben beschränken sich nicht mehr nur auf das Lösen einzelner Übungen. Umfangreichere oder komplexere Aufgabenstellungen, deren Bearbeitung sich über einen längeren Zeitraum erstrecken und auch in Gruppen erfolgen kann, stellen eine Vorbereitung auf selbständiges wissenschaftliches Arbeiten dar.

Sowohl im Grundfach als auch im Leistungsfach soll entsprechend den eingangs beschriebenen "Aufgaben und Zielen des Mathematikunterrichts" eine mathematische Grundbildung erworben werden, die die allgemeine Studierfähigkeit sicherstellt bzw. für weiterführende Ausbildungsgänge vorausgesetzt wird. Die damit verbundene Sach- und Methodenkompetenz wird allen Schülerinnen und Schülern u.a. dadurch vermittelt, dass im Grundfach und im Leistungsfach die gleichen Themenbereiche (Analysis, Stochastik, Lineare Algebra/Analytische Geometrie) angesprochen werden und die gleichen allgemeinen Zielsetzungen und Unterrichtsprinzipien gelten.

Grundfach und Leistungsfach unterscheiden sich jedoch in ihren jeweiligen Schwerpunkt-
setzungen; die folgenden Aspekte machen dies deutlich.

• Im Grundfach soll den Schülerinnen und Schülern vor allem die Anwendungsrelevanz des Fachs Mathematik verdeutlicht werden. Daran orientiert sich die Auswahl der zu vermittelnden mathematischen Kenntnisse und Methoden. Sie werden in engem Bezug zu Sachproblemen
  erarbeitet und erweisen sich als erforderlich zur Lösung außermathematischer Fragestellungen.
  Im Leistungsfach soll ein vertieftes wissenschaftspropädeutisches Verständnis vermittelt werden. Innermathematische Fragestellungen bestimmen überwiegend Stoffauswahl und Unterrichtsmethode. Gestützt auf umfangreicheres Wissen, die Beherrschung einer Methodenvielfalt und vertiefte Einsichten in mathematische Zusammenhänge wird dann die Behandlung komplexerer und umfassenderer Anwendungen möglich.

• Im Grundfach sollen die Schülerinnen und Schüler Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik erfahren, indem sie eine Vorstellung davon gewinnen, wie man in den geforderten Themen-bereichen zu zentralen Begriffen und Aussagen gelangt und wofür die erarbeiteten Methoden und Verfahren benötigt werden. Dies soll exemplarisch geschehen; Vollständigkeit und Lü-
  ckenlosigkeit bei der Behandlung eines Stoffgebiets und durchgehende formale Exaktheit können und sollen nicht angestrebt werden.

• Im Grundfach können vielfach Plausibilitätsbetrachtungen sowie anschauungs- oder beispielgebundene Begründungen an die Stelle exakter Beweise treten, wenn dies bewusst gemacht wird.

Der Lehrplan ist so konzipiert, dass die Lehrerinnen und Lehrer möglichst viel Entscheidungsspielraum in der Stoffanordnung und in der Unterrichtsgestaltung haben. Dadurch wird ein intensiveres Eingehen auf die Fähigkeiten und Interessen der Schülerinnen und Schüler ermöglicht, und es werden Freiräume für die Erprobung neuer fachlicher, didaktischer und methodischer Aspekte sowie Voraussetzungen für fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten geschaffen. Im Folgenden werden einerseits die Entscheidungsspielräume näher erläutert und andererseits aufgezeigt, in welchen Teilen der Lehrplan verbindlich ist.

Eine Zuordnung des Pflichtstoffs zu Schuljahren oder Halbjahren erfolgt nicht. Über die Stoffabfolge in den Jahrgangsstufen 11 – 13 entscheidet die Fachlehrerin bzw. der Fachlehrer unter Beachtung folgender Bedingungen:

• Durch Abstimmung der Inhalte muss sichergestellt werden, dass die Schülerinnen und Schüler zum Zeitpunkt der Umwahl zwischen Grundkurs und Leistungskurs wechseln können.
• In der Hauptphase müssen Themen aus allen drei Gebieten (Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie, Stochastik) behandelt werden.

Die Ziele und Inhalte sind in Themenbereiche gegliedert. Sie beziehen sich auf die Vermittlung von Sach- und Methodenkompetenz und sind verbindlich. Innerhalb der einzelnen Themenbereiche sind die Ziele nach fachsystematischen Gesichtspunkten angeordnet. Diese Anordnung stellt keine Reihenfolge im Sinne eines Lehrgangs dar.

In den Vorbemerkungen zu den einzelnen Themenbereichen und in der rechten Spalte werden didaktische Begründungen, methodische Anregungen, Hinweise zur Unterrichtsgestaltung, zur intendierten Tiefe der Behandlung und zur inneren Differenzierung gegeben, gebiets- und fach-
übergreifende Querverbindungen aufgezeigt, Möglichkeiten des Computereinsatzes und der Einbeziehung von Anwendungen genannt. Die Vorbemerkungen und Hinweise sind nicht verbindlich. Insbesondere liegt die Entscheidung über Unterrichtsgestaltung und -methoden bei den Fachlehrerinnen und -lehrern.

Zu allen Themenbereichen werden Zeitrichtwerte in Unterrichtsstunden angegeben. Sie sind nicht verbindlich, sondern sollen zum einen Orientierungshilfe für die Unterrichtsplanung sein und zum anderen verdeutlichen, in welchem Umfang und mit welcher Intensität der jeweilige Themenbereich bearbeitet werden soll.

Die verpflichtenden Inhalte sind auf 25 Unterrichtswochen pro Schuljahr begrenzt, damit ein Freiraum bleibt. Die Verkürzung von Schuljahren bzw. Halbjahren ist dabei entsprechend berücksichtigt.

Am Anfang der Jahrgangsstufe 11 sollte der Freiraum in erster Linie genutzt werden, unterschiedliche Vorkenntnisse bei den Schülerinnen und Schülern auszugleichen.

In den Jahrgangsstufen 12/13 kann der Freiraum für Wiederholungen und Übungen zur Festigung und Vertiefung, für Weiterführungen sowie für gebiets- und fachübergreifende Unterrichtsvorhaben genutzt werden. Er kann aber auch der Erprobung neuer fachlicher, didaktischer und methodischer Ansätze dienen.

In den Themenbereichen "Lineare Algebra/Analytische Geometrie" und "Stochastik" sind weitere Entscheidungsspielräume bei der Stoffauswahl eröffnet, indem mehrere Wahlpflichtgebiete angeboten werden, von denen jeweils eines zu behandeln ist.

Der Einsatz von Computern kann und soll den Mathematikunterricht unter sehr unterschiedlichen Aspekten bereichern. Welcher Aspekt jeweils im Vordergrund steht, richtet sich nach dem Thema, nach der Zielsetzung des Unterrichts und nach Vorkenntnissen und Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler. Folgende Schwerpunktsetzungen bieten sich an:

• Der Computer als didaktisches Werkzeug

• Der Computer als Hilfsmittel zur Lösung numerischer und algebraischer Aufgaben

• Der Computer als Anreiz, sich mit Algorithmen zu beschäftigen

Im vorliegenden Lehrplan wurde auf verbindliche Forderungen zum Einsatz des Computers im Rahmen eines bestimmten Themas oder zur Realisierung bestimmter Ziele verzichtet. Gleichwohl wird erwartet, dass der Computer an geeigneten Stellen im Unterricht als Werkzeug mit den oben genannten Schwerpunkten benutzt wird. Gerechtfertigt und sinnvoll ist die Einbeziehung des Computers in den Unterricht sicher immer dann, wenn mit ihm die angestrebte Sach- und Methodenkompetenz besser vermittelt werden kann als ohne ihn.

In welchen konkreten Unterrichtssituationen und bei welchen Inhalten der Computereinsatz angezeigt ist, kann nur die Fachlehrkraft, bezogen auf ihr methodisches Konzept und orientiert an den Fähigkeiten und Fertigkeiten der Lerngruppe, entscheiden. Der Lehrplan gibt dazu Anregungen. An zahlreichen Stellen, an denen der Computer den Unterricht bereichern kann und deshalb ein Einsatz empfohlen wird, sind entsprechende Hinweise den jeweiligen Lernzielen zugeordnet. Dabei wird auch aufgezeigt, welcher der in Abschnitt 1 genannten didaktischen Schwerpunkte jeweils im Vordergrund steht.

Die schnell fortschreitende Weiterentwicklung der Informations- und Kommunikationstechnologien wird zu Veränderungen des Mathematikunterrichts führen. Die immer leistungsfähigere Software, eine Miniaturisierung der Hardware und ihre zunehmende Verfügbarkeit wirken sich vor allem auf die Methoden des Mathematikunterrichts aus. In gewissen Teilgebieten der Schulmathematik wird auch eine Umgewichtung der inhaltlichen Schwerpunktsetzungen notwendig werden. Der Lehrplan ist für die Entwicklung neuer methodischer Wege offen und will bewusst zu Erprobungen anregen und ermuntern.

Die Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts betrifft vor allem

• eine stärkere Betonung experimenteller Arbeitsweisen
• ein Zurückdrängen von Routineaufgaben und Aufgabentypen, die durch einen Algorithmus gelöst werden (z.B. Termumformungen, Lösen von Gleichungssystemen, Differentiations- und Integrationsverfahren, Kurvenuntersuchungen)
• eine Vergrößerung des Anteils an Aufgaben, die Problemlöseverhalten und die Anwendung heuristischer Verfahren herausfordern
• das Einbeziehen von offeneren Aufgabestellungen, bei denen der Lösungsweg nicht eng durch Frageketten oder Lösungsrezepte vorgeschrieben ist, sondern schon das Auffinden geeigneter Fragen von den Schülerinnen und Schülern geleistet werden muss
• neue Lernformen
• neue Formen der Leistungsmessung
• eine veränderte Lehrerrolle.

Voraussetzung für solche Veränderungen in den Methoden des Mathematikunterrichts und Ver-lagerungen der Schwerpunkte ist allerdings, dass allen Schülerinnen und Schülern in der Schule und zu Hause die entsprechenden Medien zur Verfügung stehen.

Schule hat heute verstärkt den Auftrag, ausgehend von der Erfahrungswelt der Kinder und
Jugendlichen, Sach- und Methodenkompetenz bezogen auf die Lebenswirklichkeit zu vermitteln. Dies betrifft alle Fächer. Für den Mathematikunterricht bedeutet es u.a. die Hinwendung zu einer stärkeren Anwendungsorientierung, die notwendigerweise über die Fachgrenzen hinausführt.
Erfahrungen mit Anwendungen von Mathematik müssen im Unterricht an Prozessen gewonnen werden, bei denen Mathematik einen Beitrag zum Problemlösen in Gesellschaft, Wirtschaft, Wissenschaft oder Technik leistet. Damit rückt didaktisch das Modellbilden als ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts in den Vordergrund.

Unter Modellbildung wird ein Prozess verstanden, in dem von einer realen Situation durch Reduktion der Komplexität und Idealisierungen ein Bild, ein Modell entworfen wird, das eine Bearbeitung der Problemstellung mit mathematischen Mitteln erlaubt. Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehende Analogien bestehen. Die sich aus der Bearbeitung der Problemstellung im Modell ergebenden Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden; die Überprüfung kann zu einer Modifikation oder zu der Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen. Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.

Wenn das Modellieren wie eine Leitlinie den Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe durchzieht, werden auch wichtige Methodenziele realisiert.

• Die Schülerinnen und Schüler gewinnen eine an der Wirklichkeit orientierte Vorstellung von der Bedeutung der Mathematik in Anwendungsbereichen.

• Die Notwendigkeit eines fachübergreifenden Denkens in größeren Zusammenhängen unter
  Berücksichtigung der vielseitigen Wechselwirkungen wird in Anwendungssituationen in besonderer Weise erfahrbar.

• Vernetztes Denken wird insbesondere dadurch gefördert, dass durch die Möglichkeit des Computereinsatzes auch Vorgänge in komplexeren Systemen und Strukturen modelliert und simuliert werden können.

• Durch wiederholtes bewusstes Durchlaufen der Schritte des Modellbildungsprozesses werden bei den Schülerinnen und Schülern Strategien des Problemlöseverhaltens entwickelt, was auch einen besonderen Beitrag zum Methodenlernen und zur Entwicklung allgemeiner geistiger Fähigkeiten der Jugendlichen darstellt.

Der Modellbildungsprozess kann von den Schülerinnen und Schülern auf verschiedenen
Niveaustufen und mit unterschiedlicher Intensität erfahren bzw. vollzogen werden. Im Folgenden sind drei Stufen beschrieben.

• In Sachaufgaben die Problemstellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben
• Die für die Lösung des Problems wesentlichen Informationen aus dem Text separieren
• Die Zusammenhänge zwischen den wesentlichen Informationen erkennen
• Das Sachproblem einem für die Lösung geeigneten mathematischen Verfahren zuordnen
• Die Lösung ermitteln
• Das mathematische Ergebnis wieder auf den Sachzusammenhang beziehen.

Die Schülerinnen und Schüler sollen in allen Jahrgangsstufen der gymnasialen Oberstufe an geeigneten Beispielen (auch gebiets- und fachübergreifend) Anwendungsprobleme mathematisieren und die "Schritte der mathematischen Problemlösung" vollziehen.

Die in den Stufen 1 und 2 beschriebenen Möglichkeiten sollen fester Bestandteil auch des herkömmlich geführten Unterrichts sein. Modellieren in diesem Sinn soll sich wie ein roter Faden durch die Jahrgangsstufen 11 bis 13 ziehen.

Für die Realisierung eines projektähnlichen Vorhabens, wie es in der Stufe 3 beschrieben ist, bietet sich vor allem die Jahrgangsstufe 13 an, weil dann die erforderlichen mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten bereitstehen.

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Stochastik 2

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

In der Einführungsphase kann es sich als erforderlich erweisen, gezielt bestimmte Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Sekundarstufe I zu wiederholen und wieder verfügbar zu machen. Dies wird vor allem dann der Fall sein, wenn Schülerinnen und Schüler aus verschiedenen Lerngruppen oder mit unterschiedlichem Bildungsgang in einem Kurs zusammenkommen.

Empfohlen wird, die Wiederholung in den laufenden Unterricht zu integrieren und nicht mit dem Auffrischen bekannter Inhalte zu beginnen. Es hat sich bewährt, zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 ein Thema zu wählen, das für alle Schülerinnen und Schüler neu ist und deshalb Interesse und Motivation wecken kann.

In bestimmten Fällen kann es aber auch sinnvoll oder notwendig sein, zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 Grundlagen für das weitere unterrichtliche Arbeiten bereitzustellen. Bei der Planung einer solchen Wiederholungsphase sollte allerdings folgendes beachtet werden:

• Lösen von linearen Gleichungen, quadratischen Gleichungen und linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen
• Definition des Funktionsbegriffs und Darstellungen von Funktionen
• Lineare und einfache quadratische Funktionen.

Die Wiederholung weiterer Funktionsklassen und der Eigenschaften von Funktionen soll erst dann erfolgen, wenn diese im Rahmen weiterführender Untersuchungen (z.B. im Rahmen der Differentialrechnung) angesprochen werden.

Ziel dieses Unterrichtsabschnitts ist es, eine inhaltliche Vorstellung des Grenzwertbegriffs bei den Schülerinnen und Schülern zu wecken, eine ihrer Leistungsfähigkeit angemessene Präzisierung der Definition zu erreichen und sie zu befähigen, Grenzwerte zu bestimmen.

Der Zugang zum Grenzwertbegriff über Zahlenfolgen baut auf Vorkenntnissen aus der Sekundarstufe I auf. An eine extensive Behandlung von Zahlenfolgen und deren Eigenschaften ist nicht gedacht. Da sich rekursive Folgen in besonderer Weise eignen, ein Verständnis des Grenzwertbegriffs zu entwickeln, und ferner Rekursionen in den Anwendungen der Mathematik eine immer größere Bedeutung gewinnen, ist ein Eingehen auf diese Folgen im Unterricht ausdrücklich gefordert.

Im Zusammenhang mit der Reflexion über Grenzprozesse sollen auch historische Aspekte (Ringen um eine Präzisierung grundlegender Begriffe) und philosophische Ausblicke (Erfahrungen mit dem Infiniten) in den Unterricht einbezogen werden.

Differentialrechnung

Ziel dieses Unterrichtsabschnitts ist es, bei den Schülerinnen und Schülern eine anschauliche Vorstellung vom Differentialquotienten aufzubauen, Folgerungen aus der Definition zu ziehen und die gewonnenen Aussagen in verschiedenen Sachbezügen anzuwenden.

Der Differentialquotient kann ausgehend von einer geometrischen Problemstellung (Tangenten-problem) oder von der Frage nach Änderungsraten im Rahmen eines Sachproblems erarbeitet werden. Der Grenzwertbegriff soll dabei eine Anwendung und Vertiefung erfahren. Mit dem
Differentialquotienten und der Technik des Ableitens lernen die Schülerinnen und Schüler ein wirkungsvolles Werkzeug kennen, das es gestattet, funktionale Zusammenhänge und deren Eigenschaften in den Anwendungsbereichen Naturwissenschaften, Technik, Umwelt, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften zu untersuchen und zu deuten.

Für die Behandlung der Integralrechnung sind verschiedene methodische Wege möglich. Die folgenden Ziele legen keinen Weg fest. Im Grundkurs sollte ein Zugang gewählt werden, der möglichst schnell zu Anwendungsaufgaben führt.

Die zentrale Bedeutung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wird auch im Grundkurs herausgearbeitet. Der Zeitpunkt der Behandlung richtet sich nach dem gewählten Weg. Es kann hilfreich sein, wenn der Hauptsatz möglichst früh zur Verfügung steht; man kann ihn aber auch zurückstellen, um zunächst an Sachaufgaben mit ganzrationalen Funktionen die Anwendungen der Integralrechnung erfahren zu lassen.

Zeitrichtwert: 15 Unterrichtsstunden*

Im Grundkurs steht der Aspekt der Anwendung von Mathematik im Vordergrund. Deshalb werden neben den ganzrationalen Funktionen die Exponentialfunktionen, die der mathematischen Beschreibung von Wachstums- und Abnahmeprozessen in ganz unterschiedlichen Bereichen dienen, ausführlicher behandelt.

Anknüpfend an den Unterricht in Klasse 10 müssen in der Regel Eigenschaften der Exponentialfunktionen wiederholt werden. Ferner muss den Schülerinnen und Schülern bewusst sein, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist. Die Frage nach Änderungsraten, Wachstums- und Zerfallsgeschwindigkeiten führt dann zu den Ableitungen der Exponentialfunktionen. Abschließend kann auch hier anhand komplexerer Aufgabenstellungen der Modellbildungsprozess verdeutlicht werden.

Die folgenden Ziele können auf verschiedenen didaktischen Wegen realisiert werden. Die Formulierung der Ziele hält eine Entscheidung offen, welcher Weg gewählt wird. Die Anordnung der Ziele soll auch hier keine Reihenfolge im Sinne eines Lehrgangs festlegen.

Zum Themenbereich Lineare Algebra/Analytische Geometrie wird in der Fachdidaktik eine Vielzahl sehr unterschiedlicher algebraischer und geometrischer Inhalte gezählt, die auf vielfältige Weise zueinander in Beziehung stehen und miteinander verflochten sind, zum Beispiel: Untersuchung geometrischer Gebilde im Raum, affine Abbildungen, Matrizen und Vektoren in Anwendungen, Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme. Alle diese Aspekte und ihre gegenseitigen Bezüge im Unterricht thematisieren zu wollen, würde bei weitem den zeitlichen Rahmen übersteigen, der für den Themenbereich Lineare Algebra/Analytische Geometrie zur Verfügung steht. Andererseits würde es eine unnötige Einengung bedeuten, die Lehrerinnen und Lehrer auf eine bestimmte didaktische und inhaltliche Schwerpunktsetzung festzulegen.

Um den Lehrerinnen und Lehrern einen möglichst großen Spielraum für didaktische Entscheidungen einzuräumen, werden drei Wahlpflichtgebiete angeboten. Allen gemeinsam ist ein Grundbestand an algebraischen und geometrischen Inhalten und Verfahren. Jedoch wird in jedem Wahlpflichtgebiet ein anderer Schwerpunkt gesetzt, was auch Unterschiede bei der Stoffauswahl nach sich zieht. In den Vorbemerkungen zu den Wahlpflichtgebieten sind die jeweiligen didaktischen Intentionen dargestellt.

In jedem Kurs muss eines der drei Wahlpflichtgebiete vollständig behandelt werden. Über die Inhalte des ausgewählten Wahlpflichtgebiets hinaus können weitere Themen zusätzlich im Rahmen des pädagogischen Freiraums angesprochen werden.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren.

Lineare Gleichungssysteme sind in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft ein unentbehrliches Hilfsmittel zur mathematischen Bewältigung von Sachproblemen; auch viele innermathematische Fragestellungen führen auf lineare Gleichungssysteme. In diesem Wahlpflichtgebiet werden Fähigkeiten im Lösen von linearen Gleichungssystemen und Interpretieren von Lösungen, auch bei unter- oder überbestimmten Systemen, vor allem dazu benötigt, Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen analytisch zu klären. Darüber hinaus sollen auch Anwendungsaufgaben aus verschiedenen Sachgebieten, die auf lineare Gleichungssysteme führen, gelöst werden.

Im Mittelpunkt des Wahlpflichtgebiets stehen die Erarbeitung der vektoriellen Geraden- und Ebenengleichung und die Untersuchung von Lagebeziehungen. Hinzu kommt das Ziel, das räumliche Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler durch Zeichnen von Geraden und Ebenen zu fördern. Schließlich trägt die Beschreibung von Ebenen durch Koordinatengleichungen der Tatsache Rechnung, dass Ebenen und Geraden in naturwissenschaftlich-technischen Studiengängen vielfach durch Koordinatengleichungen und nicht durch Parametergleichungen dargestellt werden.

Die geometrische Interpretation der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme schlägt eine Brücke zu den behandelten Lagebeziehungen von Ebenen im Raum.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren.

Lineare Gleichungssysteme sind in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft ein unentbehrliches Hilfsmittel zur mathematischen Bewältigung von Sachproblemen; auch viele innermathematische Fragestellungen führen auf lineare Gleichungssysteme. Der Schwerpunkt des Unterrichts liegt auf Anwendungsaufgaben. Das Aufstellen eines dem Sachproblem angemessenen Gleichungssystems und die Interpretation der Lösung sind mindestens genau so wichtig wie die Durchführung eines Lösungsverfahrens.

Im Mittelpunkt des Wahlpflichtgebiets stehen geometrische Abbildungen. Dieses Thema entspricht in besonderer Weise den Zielen eines Grundkurses, weil manuelle Tätigkeiten (zeichnerische Konstruktion von Bildfiguren) und eine Anwendung der Vektorrechnung (alge-braische Bestimmung der Bildfiguren) Hand in Hand gehen können. Ferner ist eine Verzahnung mit dem Geometrieunterricht der Sekundarstufe I möglich, indem die dort behandelten Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen jetzt von analytischem Standpunkt aus vertieft werden. Wenn auch diejenigen Abbildungen im Vordergrund stehen, die aus der Sekundarstufe I bekannt sind, so soll doch mindestens eine (affine) Abbildung, die nicht zum Pflichtstoff der Sekundarstufe I gehört (z.B. Scherung, Dehnung), und ihre Eigenschaften zusätzlich behandelt werden.

Schließlich ist eine Einführung in das Arbeiten mit Matrizen für viele Schülerinnen und Schüler auch deshalb nützlich, weil Matrizen in zahlreichen Berufszweigen und angewandten Wissenschaften zur Modellierung und Lösung von Sachproblemen genutzt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen in einem Ausblick mindestens eine der vielseitigen Anwendungen von Matrizen erfahren.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren. Lineare Gleichungssysteme sind in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft ein unentbehrliches Hilfsmittel zur mathematischen Bewältigung von Sachproblemen; auch viele innermathematische Fragestellungen führen auf lineare Gleichungssysteme.

Im Mittelpunkt dieses Wahlpflichtgebiets steht das Arbeiten mit Matrizen. Dies ist für Schülerinnen und Schüler eines Grundkurses nützlich, weil Matrizen in zahlreichen Berufszweigen und angewandten Wissenschaften zur Modellierung und Lösung von Sachproblemen genutzt werden. Der Schwerpunkt bei diesem Wahlpflichtgebiet liegt auf dem Mathematisieren von Sachproblemen und nicht auf dem Erlernen und Einüben des Matrizenkalküls. Die einzelnen Matrizenoperationen werden anhand konkreter Sachaufgaben, z.B. aus der Industrie oder Wirtschaft, erarbeitet und dann in komplexeren Problemstellungen angewendet.

Es wird empfohlen, das für die Berufspraxis und das Studium so wichtige Lösen von linearen Gleichungssystemen in engem Bezug zu der anwendungsorientierten Erarbeitung der Matrizen-operationen zu behandeln.

Schließlich sollen die Schülerinnen und Schüler an ausgewählten Beispielen erkennen, dass sich Matrizen auch zur Beschreibung geometrischer Abbildungen eignen und so die vielseitige Bedeutung von Matrizen erfahren.

Der Themenbereich ist für den Grundkurs von Bedeutung, weil er in besonderer Weise die Möglichkeit bietet, die Beschreibung von Anwendungssituationen durch mathematische Modelle zu üben; dabei sollen auch Grenzen der Modelle erkannt werden.

Zentrales Anliegen des Themenbereichs ist es, die Schülerinnen und Schüler mit Denkweisen und Verfahren der Stochastik vertraut zu machen. Die für alle verbindliche Grundlage bilden der Wahrscheinlichkeitsbegriff und die Binomialverteilung.

Mit Blick auf den Anwendungsaspekt liegt ein weiterer Schwerpunkt des Themenbereichs "Stochastik" entweder auf der Simulation von Zufallsexperimenten mit Hilfe von Zufallszahlen (Monte-Carlo-Methoden) oder auf der beurteilenden Statistik (Testen von Hypothesen oder Bestimmen von Konfidenzintervallen).

Dementsprechend sind im Lehrplan die folgenden drei Wahlpflichtgebiete ausgewiesen, von denen eines verbindlich zu behandeln ist.

Stochastische Simulationen gewinnen in verschiedenen Wissenschaften und Berufsfeldern, vor allem im natur-, sozial- und wirtschaftswissenschaftlichen Bereich, in immer stärkerem Maß an Bedeutung. Schülerinnen und Schüler sollten deshalb Grundelemente dieser Arbeitsmethode kennenlernen und verstehen. Beim Aufstellen von Simulationsalgorithmen erfahren sie in unmittelbarer Weise den Prozess der Modellbildung. Schließlich führt die Anwendung der Monte-Carlo-Methoden zu einem tieferen Verständnis stochastischer Begriffsbildungen und bietet Möglichkeiten experimentellen Arbeitens.

Die im Folgenden aufgeführten Ziele sollen nicht in einer geschlossenen Unterrichtseinheit im Anschluss an die Behandlung der in "Stochastik 1" beschriebenen Inhalte realisiert werden. Da relativ wenige stochastische Vorkenntnisse benötigt werden, können die Simulationen den Lehrgang in Stochastik von Anfang an begleiten und durchdringen.

Stochastische Simulationen gestatten, ein breit gestreutes Feld von Zufallsexperimenten, auch solche, die den Schülerinnen und Schülern rechnerisch nicht mehr zugänglich sind, zu bearbeiten. Dadurch kann auch eine einseitige Beschränkung auf die Binomialverteilung aufgebrochen werden.

Zentrales Anliegen des Wahlpflichtgebiets "Testen von Hypothesen" ist es, dass die Schülerinnen und Schüler das Verfahren verstehen und zum Lösen von Sachproblemen aus unterschiedlichen Bereichen anwenden. Im Zusammenhang mit der Diskussion von Fehlerwahrscheinlichkeiten erfährt der Wahrscheinlichkeitsbegriff eine Erweiterung und Vertiefung.

Zentrales Anliegen des Wahlpflichtgebiets "Schätzen von Wahrscheinlichkeiten" ist es, dass die Schülerinnen und Schüler das Verfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen verstehen und zum Lösen von Sachproblemen aus unterschiedlichen Bereichen anwenden. Dabei erfährt der Wahrscheinlichkeitsbegriff eine Erweiterung und Vertiefung.

Als Voraussetzung wird eine Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße näherungsweise zu ermitteln, bereitgestellt.

In der Einführungsphase kann es sich als erforderlich erweisen, gezielt bestimmte Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Sekundarstufe I zu wiederholen und wieder verfügbar zu machen. Dies wird vor allem dann der Fall sein, wenn Schülerinnen und Schüler aus verschiedenen Lerngruppen oder mit unterschiedlichem Bildungsgang in einem Kurs zusammenkommen.

Empfohlen wird, die Wiederholung in den laufenden Unterricht zu integrieren und nicht mit dem Auffrischen bekannter Inhalte zu beginnen. Es hat sich bewährt, zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 ein Thema zu wählen, das für alle Schülerinnen und Schüler neu ist und deshalb Interesse und Motivation wecken kann.

In bestimmten Fällen kann es aber auch sinnvoll oder notwendig sein, zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 Grundlagen für das weitere unterrichtliche Arbeiten bereitzustellen. Bei der Planung einer solchen Wiederholungsphase sollte allerdings folgendes beachtet werden:

• Lösen von linearen Gleichungen, quadratischen Gleichungen und linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen
• Definition des Funktionsbegriffs und Darstellungen von Funktionen
• Lineare und einfache quadratische Funktionen.

Ziel dieses Unterrichtsabschnitts ist es, eine inhaltliche Vorstellung des Grenzwertbegriffs bei den Schülerinnen und Schülern zu wecken, eine ihrer Leistungsfähigkeit angemessene Präzisierung der Definition zu erreichen und sie zu befähigen, Grenzwerte zu bestimmen.

Der Lehrplan ermöglicht verschiedene Zugänge zum Grenzwertbegriff:

Im Zusammenhang mit der Reflexion über Grenzprozesse sollen auch historische Aspekte (Ringen um eine Präzisierung grundlegender Begriffe) und philosophische Ausblicke (Erfahrungen mit dem Infiniten) in den Unterricht einbezogen werden.

Ziel dieses Unterrichtsabschnitts ist es, bei den Schülerinnen und Schülern eine anschauliche Vorstellung vom Differentialquotienten aufzubauen, Folgerungen aus der Definition zu ziehen und die gewonnenen Aussagen in verschiedenen Sachbezügen anzuwenden.

Der Differentialquotient kann ausgehend von einer geometrischen Problemstellung (Tangenten-problem) oder von der Frage nach Änderungsraten im Rahmen eines Sachproblems erarbeitet werden. Der Grenzwertbegriff soll dabei eine Anwendung und Vertiefung erfahren. Mit dem Differentialquotienten und der Technik des Ableitens lernen die Schülerinnen und Schüler ein wirkungsvolles Werkzeug kennen, das es gestattet, funktionale Zusammenhänge und deren Eigenschaften in den Anwendungsbereichen Naturwissenschaften, Technik, Umwelt, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften zu untersuchen und zu deuten.

Für den Zugang zur Integralrechnung sind verschiedene methodische Wege möglich. Sie führen u.U. zu verschiedenen Definitionen des bestimmten Integrals. Die folgenden Ziele legen keinen Weg fest. Welche Definition auch gewählt wird, den Schülerinnen und Schülern soll bewusst werden, dass diese Definition die Grundlage für weitere Begründungen und Beweise bildet.

In den vorangegangenen Themenblöcken zur Analysis war es ein zentrales Anliegen, die Schülerinnen und Schüler mit den Denkweisen und den grundlegenden Verfahren der Differential- und Integralrechnung vertraut zu machen. In diesem Abschnitt werden weitere Ableitungs- und Integrationsregeln bereitgestellt und die Methoden der Infinitesimalrechnung auf ein erweitertes Funktionenmaterial angewendet.

Differentialgleichungen sollen im Unterricht wegen des weitverzweigten Anwendungsbezugs nicht zu knapp behandelt werden. Dennoch ist ein exemplarisches, auf grundsätzliches Verständnis zielendes Vorgehen intendiert; an eine systematische Behandlung ist nicht gedacht. Die numerischen Lösungsverfahren haben durch den Computer eine immer größere Bedeutung erlangt. Daher sollen die Schülerinnen und Schüler auch ein einfaches numerisches Verfahren kennenlernen.

Die Ziele zur Exponential- und Logarithmusfunktion können auf verschiedenen didaktischen Wegen realisiert werden. Die Formulierung der Ziele hält eine Entscheidung offen, welcher Weg gewählt wird. Die Anordnung der Ziele soll auch hier keine Reihenfolge im Sinne eines Lehrgangs festlegen.

Zum Themenbereich Lineare Algebra/Analytische Geometrie wird in der Fachdidaktik eine Vielzahl sehr unterschiedlicher algebraischer und geometrischer Inhalte gezählt, die auf vielfältige Weise zueinander in Beziehung stehen und miteinander verflochten sind, zum Beispiel: Untersuchung geometrischer Gebilde im Raum, affine Abbildungen, Matrizen und Vektoren in Anwendungen, Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme. Alle diese Aspekte und ihre gegenseitigen Bezüge im Unterricht thematisieren zu wollen, würde bei weitem den zeitlichen Rahmen übersteigen, der für den Themenbereich Lineare Algebra/Analytische Geometrie zur Verfügung steht. Andererseits würde es eine unnötige Einengung bedeuten, die Lehrerinnen und Lehrer auf eine bestimmte didaktische und inhaltliche Schwerpunktsetzung festzulegen.

Um den Lehrerinnen und Lehrern einen möglichst großen Spielraum für didaktische Entscheidungen einzuräumen, werden drei Wahlpflichtgebiete angeboten. Allen gemeinsam ist ein Grundbestand an algebraischen und geometrischen Inhalten und Verfahren. Jedoch wird in jedem Wahlpflichtgebiet ein anderer Schwerpunkt gesetzt, was auch Unterschiede bei der Stoffauswahl nach sich zieht. In den Vorbemerkungen zu den Wahlpflichtgebieten sind die jeweiligen didaktischen Intentionen dargestellt.

In jedem Kurs muss eines der drei Wahlpflichtgebiete vollständig behandelt werden. Über die Inhalte des ausgewählten Wahlpflichtgebiets hinaus können weitere Themen zusätzlich im Rahmen des pädagogischen Freiraums angesprochen werden.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren.

Lineare Gleichungssysteme sind in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft ein unentbehrliches Hilfsmittel zur mathematischen Bewältigung von Sachproblemen; auch viele innermathematische Fragestellungen führen auf lineare Gleichungssysteme. In diesem Wahlpflichtgebiet werden Fähigkeiten im Lösen von linearen Gleichungssystemen und Interpretieren von Lösungen, auch bei unter- oder überbestimmten Systemen, vor allem dazu benötigt, Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen analytisch zu erklären. Darüber hinaus sollen auch Anwendungsaufgaben aus verschiedenen Sachgebieten, die auf lineare Gleichungssysteme führen, gelöst werden.

Im Mittelpunkt dieses Wahlpflichtgebiets "Vektorielle analytische Geometrie" stehen die Anwendung vektorieller Methoden zur Bearbeitung geometrischer Fragestellungen und, entsprechend der Zielsetzung des Leistungskurses, zum Beweis geometrischer Sätze. Hinzu kommt das Ziel, das räumliche Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler durch Zeichnen von Geraden und Ebenen zu fördern.

Schließlich werden, ausgehend von den Pfeilklassen, über Zahlen-n-Tupel grundlegende Begriffe der Vektoralgebra verallgemeinert und exemplarisch der Abstraktionsprozess zum allgemeinen Vektorraum bewusst gemacht.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren.

Lineare Gleichungssysteme sind in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft ein unentbehrliches Hilfsmittel zur mathematischen Bewältigung von Sachproblemen; auch viele innermathematische Fragestellungen führen auf lineare Gleichungssysteme. Der Schwerpunkt des Unterrichts zu diesem Thema liegt auf Anwendungsaufgaben. Darüber hinaus soll aber auch das für die Berufspraxis und das Studium vieler Fachrichtungen so wichtige Verständnis für Fragen der Lösbarkeit von Gleichungssystemen vertieft werden.

Im Mittelpunkt dieses Wahlpflichtgebiets steht die Anwendung von Matrizen in sehr unterschiedlichen Bereichen. Es werden zwei gleichrangige Schwerpunkte gesetzt:

• Untersuchung affiner Abbildungen und ihrer Eigenschaften
• Mathematisierung und Lösung von nichtgeometrischen Sachproblemen.

Ein dem Leistungskurs angemessenes Anforderungsniveau wird dadurch erreicht, dass einerseits Eigenschaften der Abbildungen bewiesen und die affinen Abbildungen nach verschiedenen Gesichtspunkten (Invarianten, Fixelemente) untersucht werden, andererseits bei den Sachproblemen der Prozess der Modellbildung herausgestellt wird.

Exakte Begriffsbildungen und Beweise spielen eine zentrale Rolle im Aufbau der Mathematik als Wissenschaft. Schülerinnen und Schüler eines Leistungskurses Mathematik werden zu einem großen Teil im Studium (auch in nichtmathematischen Fachrichtungen) der Wissenschaft Mathematik in einer relativ abstrakten und strengen Form begegnen. Das Wahlpflichtgebiet 3 soll einerseits darauf vorbereiten, indem zentrale Begriffe der linearen Algebra in der allgemeinen Form eingeführt werden und die in der Sekundarstufe I begonnene Heranführung an das exakte Definieren und Beweisen bis hin zu einem angemessenen Niveau fortgesetzt wird. Andererseits soll aber auch am Beispiel der linearen Algebra verdeutlicht werden, dass die Mathematik als Wissenschaft nicht nur aus formalem Operieren auf abstrakten Begriffen besteht, sondern dass ihre Begriffe und Methoden in vielfältiger Weise einsetzbar sind und Ergebnisse liefern, deren Interpretation wichtige Erkenntnisse im Anwendungszusammenhang geben kann.

Zu dem allen Wahlpflichtgebieten gemeinsamen Fundamentum gehören das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und eine Einführung in das Arbeiten mit Vektoren.

Im Mittelpunkt dieses Wahlpflichtgebiets stehen der Vektorraumbegriff und die linearen Abbildungen. Die in diesen Zusammenhängen auftretenden grundlegenden Begriffe der linearen Algebra sollen ausgehend von bekannten Inhalten (z.B. geometrische Vektoren, lineare Gleichungssysteme) entwickelt werden. Die Übertragung auf allgemeine Vektorräume und lineare Abbildungen führt dann zur Loslösung von der Anschauung und ermöglicht abstrakte Begriffsbildungen.

An den Begriffen "Vektorraum" und "lineare Abbildungen" sollen die Schülerinnen und Schüler beispielhaft erkennen, dass sich mit Strukturbetrachtungen unterschiedliche Bereiche auf das algebraisch Wesentliche reduzieren lassen. In einer Zeit der Wissensexplosion kann durch das Erkennen gemeinsamer Strukturen in einer Vielzahl konkreter Objekte ein Lernen in Zusammenhängen ermöglicht werden. Insofern liefert dieses Thema im Sinne einer Wissenschaftspropädeutik einen wesentlichen Beitrag zum Methodenlernen und fördert insbesondere die Fähigkeit zu abstrahieren.

Zentrales Anliegen dieses Themenbereichs ist es, die Schülerinnen und Schüler mit Denkweisen und Verfahren der Stochastik vertraut zu machen. Dabei steht auch im Leistungskurs der Anwendungsbezug und nicht der Aufbau einer mathematischen Theorie im Mittelpunkt.

Mathematische Grundlage und zugleich erster Schwerpunkt sind der Wahrscheinlichkeitsbegriff und, darauf aufbauend, Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsgrößen. Dabei beschränkt sich der Lehrgang auf diskrete Zufallsgrößen; im Mittelpunkt steht die Binomialverteilung.

Bei der Planung und Durchführung von Simulationen mit Hilfe von Zufallszahlen (Monte-Carlo-Methoden) erfahren die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung dieser Arbeitsmethode, die in verschiedenen Studiengängen und Berufsfeldern eine zunehmend größere Rolle spielt.

Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf Fragestellungen aus der beurteilenden Statistik. Dem Testen von Hypothesen und dem Bestimmen von Konfidenzintervallen für unbekannte Wahrscheinlichkeiten muss im Unterricht ausreichend Zeit eingeräumt werden. Es ist ein wichtiges Anliegen, dass die Schülerinnen und Schüler diese Verfahren nicht nur verstehen, sondern auch selbständig zum Lösen von Sachproblemen anwenden.

Damit die Schule ihren Bildungsaufgaben in vollem Umfang gerecht werden kann, muss sie zu einer sinnvollen Balance zwischen systematischem und situationsbezogenem Lernen finden. Das bedeutet, dass das Lernen in den einzelnen Fächern einerseits und fachübergreifendes bzw. fächerverbindendes Lernen andererseits unverzichtbar und konstituierende Bestandteile des Unterrichts sind.

Die Gliederung des Unterrichts in einzelne Fächer ist aus mehreren Gründen sinnvoll und not-wendig. Durch die Beschränkung auf die Aspekte eines Fachs wird der Komplexi-tätsgrad der Inhalte vermindert. Schülerinnen und Schüler können in relativ überschaubaren Bereichen Wissen und Fähigkeiten erwerben. Ferner haben die einzelnen Fächer und Fachgruppen jeweils spezifische Methoden der Erkenntnisgewinnung und der Theoriebildung. Schülerinnen und Schüler sollen diese fachbezogenen Denk- und Arbeitsweisen kennenlernen und einüben, um sie dann in komplexeren Zusammenhängen anwenden zu können.

Eine enge Beschränkung auf den Fachunterricht bringt allerdings auch Probleme mit sich.

Zum einen besteht die Gefahr, dass Schülerinnen und Schüler nur noch fachspezifische Facetten von Sachverhalten wahrnehmen. Selbst wenn in unterschiedlichen Fächern das gleiche Thema behandelt wird, stehen die jeweiligen Aspekte häufig unverbunden nebeneinander. Von Seiten der Lehrkräfte an Schulen und Hochschulen und auch von seiten der Wirtschaft wird diese Situation beklagt; man spricht von "Schubladenwissen". Darüber hinaus begünstigt das Lernen isolierter Sachverhalte ein schnelles Vergessen des Gelernten.

Zum anderen erfordern die Wissensexplosion und der schnelle Wandel des Wissens, die kom-plexen Strukturen und Interdependenzen in allen Bereichen von Gesellschaft, Wirtschaft, Wissenschaft und Technik in zunehmendem Maß übergreifendes, vernetztes Denken. Viele aktuelle Probleme sind nicht allein analytisch durch Zerlegung in Teilprobleme und deren Lösung zu bewältigen. Es müssen vielfältige Abhängigkeiten und Verflechtungen berücksichtigt werden.

Das ist auch für den Unterricht relevant, soll er sich doch an der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler orientieren, zu Entscheidungs- und Handlungskompetenz führen und zur Übernahme von Verantwortung befähigen. Diese Ziele bedingen, dass in verstärktem Maß realitätsnahe Problemstellungen Ausgangspunkt von Lernprozessen sein müssen. Solche Problemstellungen lassen sich aber in der Regel nur im Zusammenwirken von Sachkompetenz aus mehreren Fachgebieten
bewältigen. Kenntnisse und Fähigkeiten in den einzelnen Fächern sowie die Beherrschung der verschiedenen wissenschaftlichen Denkweisen und Arbeitsmethoden sind Voraussetzungen für die Bearbeitung fachübergreifender Problemstellungen.

Die Verfügbarkeit neuer Medien und Technologien erweitert die Möglichkeiten der Informationsbeschaffung und -verarbeitung und öffnet Wege zu einem übergreifenden Denken in Zusammenhängen.

Im fachübergreifenden und fächerverbindenden Unterricht sollen die Schülerinnen und Schüler, zumindest exemplarisch,

• erfahren, dass für eine Lösung realitätsnaher Problemstellungen meist Aspekte aus verschiedenen Fächern zu berücksichtigen sind, die einander ergänzen bzw. gegeneinander abgewogen werden müssen.

• Wissen und methodische Fähigkeiten, die im Fachunterricht erworben wurden, als Beiträge zur Lösung eines komplexen Problems einbringen und dadurch die Bedeutung des Gelernten für die Bewältigung lebensweltlicher Situationen erfahren.

• lernen, eine Problemstellung von verschiedenen Seiten zu beleuchten und Lösungsansätze nicht vorschnell und unkritisch auf die Verfahren eines bestimmten Fachs einzuschränken.

• erfahren, dass die Zusammenführung verschiedener fachlicher Sichtweisen zu einem tieferen Verständnis eines Sachverhalts führen kann.

• die Bereitschaft und Fähigkeit entwickeln, zur Bearbeitung einer größeren, komplexen Problemstellung mit anderen zu kommunizieren und zu kooperieren.

• lernen, Problemlöseprozesse möglichst selbständig zu organisieren, auch in Partnerarbeit oder im Team.

• lernen, die Ergebnisse eines Arbeitsprozesses zu strukturieren und so zu präsentieren, dass sie von anderen, die nicht an diesem Prozess beteiligt waren, verstanden werden können.

Die Lehrpläne schaffen äußere Voraussetzungen für die Realisierung fachübergreifenden und fächerverbindenden Unterrichts, indem

• keine verbindliche Reihenfolge für die Behandlung des Pflichtstoffs in den Fächern festgelegt wird.
• in gewissen Teilbereichen die Entscheidung über die inhaltlichen Schwerpunkte den Lehrerinnen und Lehrern bzw. den Fachkonferenzen überlassen bleibt.
• durch Beschränkung des Pflichtstoffs zeitliche Freiräume geschaffen werden.
• im Anhang Themenvorschläge für entsprechende Unterrichtseinheiten enthalten sind.

Fachübergreifendes Denken und Arbeiten soll grundsätzlich in der gesamten gymnasialen Oberstufe und in allen Fachkursen an geeigneten Stellen in den Unterricht integriert werden (vgl. 5.1).

Darüber hinaus sollen innerhalb der gymnasialen Oberstufe (Jahrgangsstufen 11 bis 13) alle Schülerinnen und Schüler mindestens einmal an einem fächerverbindenden Unterrichtsvorhaben teilnehmen.

Fachübergreifendes und fächerverbindendes Lernen kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen, die auch unterschiedliche Organisationsformen erfordern. Organisatorisch problemlos sind alle Formen fachübergreifenden und fächerverbindenden Lernens, die sich im Rahmen der Fachkurse realisieren lassen. Um übergreifende Themen behandeln zu können, die einen größeren zeitlichen Rahmen erfordern, oder zu denen mehrere Fächer etwa gleich gewichtige Beiträge liefern, ist es jedoch erforderlich, für den entsprechenden, begrenzten Zeitraum neue, an den Themen orientierte Lerngruppen zu bilden. Dies ist in der gymnasialen Oberstufe auf Grund der differenzierten Kursbelegung nicht immer leicht zu organisieren. Welche Organisationsform die günstigste ist, muss anhand der speziellen Rahmenbedingungen an der einzelnen Schule entschieden werden.

Im Folgenden sind exemplarisch mögliche Organisationsformen für fachübergreifendes und fächerverbindendes Lernen im Rahmen der Fachkurse wie auch in neu gebildeten Lerngruppen aufgeführt. Selbstverständlich sind auch andere als die hier genannten Formen möglich.

• Die Lehrerinnen und Lehrer integrieren in den Fachunterricht an geeigneten Stellen Aspekte anderer Fächer oder Fachbereiche – insbesondere derjenigen, für die sie die Lehrbefähigung besitzen.

• Durch die Einbeziehung außerschulischer Lernorte (z.B. im Rahmen von Exkursionen) werden der Anwendungsbezug und die fachübergreifende Dimension des jeweiligen Themas für die Schülerinnen und Schüler unmittelbar erfahrbar.

• In bestimmten Unterrichtsabschnitten übernimmt eine zweite Lehrkraft allein oder zusammen mit der Fachlehrkraft den Unterricht (team-teaching). Auch können Vorträge von externen Fachleuten in den Unterricht integriert werden, um Bezüge zu anderen Fachrichtungen aufzuzeigen.

• Kurse verschiedener Fächer, die im Stundenplan parallel liegen, werden für mehrere Stunden zur Durchführung eines fächerverbindenden Projekts zusammengefasst. Der fächerverbindende Unterricht tritt für diesen Zeitraum an die Stelle des Fachunterrichts.

• Für eine "Projektphase", die mehrere Tage umfasst, werden die Schülerinnen und Schüler einer Jahrgangsstufe in neue Lerngruppen eingeteilt. In jeder dieser Lerngruppen wird ein fächerverbindendes Thema behandelt. Es ist denkbar, dass in einer Lerngruppe eine einzige Lehrkraft alle Aspekte des Themas behandelt, aber auch, dass im zeitlichen Wechsel oder im team-teaching mehrere Lehrkräfte beteiligt sind.

• Über ein Schuljahr oder ein Halbjahr hinweg wird jeweils eine Doppelstunde pro Woche für alle Schülerinnen und Schüler einer Jahrgangsstufe von Fachunterricht freigehalten. Diese Doppelstunde steht für fächerverbindenden Unterricht in dafür neu gebildeten Lerngruppen zur Verfügung.

• Ein fächerverbindendes Thema wird in einer dafür neu gebildeten Lerngruppe über einen bestimmten Zeitraum mit einer Doppelstunde pro Woche unterrichtet. Der für diese Doppelstunde vorgesehene Fachunterricht fällt jeweils aus. Die Doppelstunde liegt aber in jeder Woche an einer anderen Stelle im Stundenplan, so dass nicht immer der gleiche Fachunterricht betroffen ist.

• In einer Jahrgangsstufe sprechen sich einige Lehrerinnen und Lehrer verschiedener Fächer ab, ein ausgewähltes übergreifendes Thema zeitlich parallel in ihren Kursen unter fachlichem Aspekt zu behandeln. Der zeitliche Rahmen kann einige Stunden umfassen, sich aber auch auf mehrere Wochen erstrecken. Am Ende dieses Zeitraums finden "Projekttage" statt, auf denen allen Schülerinnen und Schülern die Ergebnisse der fachbezogenen Arbeit vorgestellt werden. In dieser Präsentation, in die auch externe Fachleute einbezogen werden können, wird der fächerverbindende Charakter des Themas erfahrbar.

Im Folgenden sind mehrere Themenbereiche für fachübergreifende und fächerverbindende Unterrichtsvorhaben aufgeführt. Für jeden Themenbereich sind in Form von Bausteinen thematische Schwerpunkte genannt, die sich für eine Zusammenarbeit von Mathematik mit anderen Fächern eignen und es gestatten, fachübergreifende Leitlinien und Vernetzungen aufzuzeigen.

Die Auswahl der Themenbereiche und thematischen Bausteine richtet sich u.a. danach, ob ein Bezug zu den Fachlehrplänen der jeweils betroffenen Fächer hergestellt werden kann und ob bereits gewisse methodische Erfahrungen vorliegen oder Handreichungen zur Verfügung stehen.

Die aufgeführten Themen sind nicht verbindlich. Sie sind als Beispielsammlung gedacht und erheben in keiner Weise den Anspruch auf Vollständigkeit.

Die Themenvorschläge und die aufgezeigten Bezüge verschiedener Fächer zu dem jeweiligen Rahmenthema sollen anregen und ermuntern, fachübergreifende und fächerverbindende Unterrichtseinheiten zu planen, zu erproben und Erfahrungen zu sammeln. In der Regel werden Fachlehrerinnen und -lehrer verschiedener Fächer kooperieren und ihre jeweilige Sachkompetenz bei der Planung und Durchführung eines Unterrichtsvorhabens einbringen.

Umfang und Komplexität eines solchen Vorhabens werden sich an der zur Verfügung stehenden Zeit und den Möglichkeiten der Realisierung orientieren. Auch kleinere Projekte, an denen außer Mathematik nur ein oder zwei weitere Fächer beteiligt sind und bei denen nur einige der für das jeweilige Fach aufgeführten "möglichen Beiträge" berücksichtigt werden, können der Zielsetzung des fachübergreifenden und fächerverbindenden Unterrichts gerecht werden.

Deterministisches Chaos und Fraktale sind fachlich eng miteinander verknüpft. Dennoch werden im Folgenden zu diesem Themenkomplex zwei Unterrichtsvorhaben beschrieben, die sich in der Schwerpunktsetzung unterscheiden, "Chaotische Prozesse" und "Fraktale".

Im Mittelpunkt einer Unterrichtseinheit zum Thema "Chaotische Prozesse" sollte die Untersuchung und Erklärung des Verhaltens ausgewählter chaosfähiger Systeme stehen. Als Beispiele sind vor allem physikalische oder biologische Prozesse geeignet. Anhand experimenteller Befunde können charakteristische Eigenschaften des Chaos und Wege ins Chaos erkannt werden. Zur Erklärung chaotischer Prozesse werden mathematische Begriffe und Verfahren benötigt, z.B. Rekursionen (Iterationen), Differentialgleichungen und deren numerische Lösung sowie die Interpretation von Graphen. Darüber hinaus können wissenschaftstheoretische und weltanschaulich-philosophische Fragen thematisiert werden, z.B. anknüpfend an die beobachtete Verletzung der starken Kausalität.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für drei weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fachübergreifenden Unterrichtsvorhabens "Chaotische Prozesse" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden. Es ist auch möglich, nur einzelne der für das jeweilige Fach aufgeführten "möglichen Beiträge" herauszugreifen und in einem kleineren fachübergreifenden Projekt zu bearbeiten.

Im Mittelpunkt einer Unterrichtseinheit zu diesem Thema steht die Beobachtung, Beschreibung und Erzeugung fraktaler Strukturen. An natürlichen Objekten aus Physik, Chemie, Biologie und Erdkunde können solche Strukturen beobachtet werden; durch Iteration können Fraktale systematisch erzeugt werden. Die entsprechenden Algorithmen führen in Mathematik bzw. Informatik zu einem tieferen Verständnis. Zur qualitativen und quantitativen Beschreibung sind die mathematischen Begriffe Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension geeignet. Ein weiterer Aspekt des Themas kann durch die Analyse künstlerischer Werke, in denen von der Selbstähnlichkeit als Gestaltungsmittel Gebrauch gemacht wird, einbezogen werden.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für vier weitere Fächergruppen Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fachübergreifenden Unterrichtsvorhabens "Fraktale" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden. Es ist auch möglich, nur einzelne der aufgeführten "möglichen Beiträge" herauszugreifen und diese aus der Sicht verschiedener Fächer zu betrachten.

Im Mittelpunkt einer Unterrichtseinheit zu diesem Thema steht die Frage, mit welchen Mitteln bei der zweidimensionalen Darstellung dreidimensionaler Objekte ein räumlicher Eindruck erzeugt werden kann. Verschiedene Fächer können zur Beantwortung dieser Frage jeweils unterschiedliche Beiträge leisten. Das Fach Mathematik stellt Verfahren zur zeichnerischen Darstellung räumlicher Objekte und die rechnerische Erfassung von Abbildungen durch Matrizen bereit. Daran anknüpfend können im Fach Informatik die entsprechenden Datenstrukturen und Algorithmen thematisiert werden. Die Vektorgrafik kann als Möglichkeit der Bilderzeugung angesprochen werden. Im Fach Bildende Kunst werden an ausgewählten Kunstwerken die Darstellungsverfahren unter künstlerischen Gesichtspunkten betrachtet; darauf aufbauend können weitere Möglichkeiten zur Raumdarstellung und Perspektive entdeckt werden.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für zwei weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvorhabens "Darstellung räumlicher Objekte" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden.

Im Mittelpunkt einer Unterrichtsreihe zu diesem Thema steht die mathematische Modellierung dynamischer Systeme, die es erlaubt, die entsprechenden Abläufe zu simulieren. Aus der Simula-
tion können Aussagen über Abhängigkeiten zwischen Systemgrößen oder über das zeitliche Verhalten des Systems gewonnen werden, die wegen der Vernetzung nicht direkt abzulesen sind. Beispiele für solche komplexen dynamischen Systeme finden sich vor allem in den Naturwissenschaften und im gemeinschaftskundlichen Bereich. Diese Fächer stellen das Sachwissen zur Verfügung, das zur Modellierung der Prozesse und zur Auswertung der Ergebnisse von Simulationen unverzichtbar ist. Das Fach Mathematik stellt die Verfahren für die Modellierung bereit, insbesondere verschiedene Funktionstypen, den Ableitungsbegriff, die Beschreibung dynamischer Prozesse durch Differenzen- oder Differentialgleichungen und deren numerische Lösung. Für die Darstellung und Durchführung der Simulationen bieten sich in allen Fächern grafische Modellbildungssysteme an. Darüber hinaus kann im Fach Informatik die algorithmische Struktur solcher Systeme analysiert werden.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für vier weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvorhabens "Simulation dynamischer Vorgänge" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden.

Im Mittelpunkt einer Unterrichtsreihe zu diesem Thema steht die Erarbeitung von stochastischen Simulationen zum Lösen von Anwendungsproblemen.

Während es Sache der Mathematik ist, die grundlegende Struktur solcher Methoden und ihre Einbettung in die Theorie aufzuzeigen, stellen die naturwissenschaftlichen und gemeinschafts-kundlichen Fächer das den Anwendungen zugrundeliegende Sachwissen bereit. Das Fach Informatik schafft die Voraussetzungen zur Übertragung der Simulationen auf den Computer; eine Problematisierung der algorithmischen Erzeugung von Pseudozufallszahlen kann als weiterer Beitrag des Fachs Informatik zu einer Unterrichtsreihe gesehen werden.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für vier weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvor-habens "Monte-Carlo-Methoden" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden, indem nur Sachprobleme aus diesem Fach zugrundegelegt werden.

In einem Projekt, das das Problem des Unendlichen in den Mittelpunkt stellt, soll für die Schülerinnen und Schüler erfahrbar werden, dass sich die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft nicht auf den Anwendungsbezug reduzieren lässt. So ist eine Zuordnung der Mathematik zu den Naturwissenschaften nur die halbe Wahrheit. Mathematik ist genau so gut eine Geisteswissenschaft; seit eh und je bestehen enge Bezüge zur Philosophie. Dies kann für Schülerinnen und Schüler deutlich werden, wenn sie erkennen, wie sich Philosophen und Mathematiker im Laufe der Geistesgeschichte mit dem Begriff des Unendlichen auseinandergesetzt haben.

Die Frage nach dem Unendlichen führt auch zu Grundfragen naturwissenschaftlichen Erkennens und naturwissenschaftlicher Methoden. Hier rückt vor allem die Physik in den Blick. So lassen sich je nach gewünschter Schwerpunktsetzung ganz unterschiedliche Facetten zu einem Projekt zusammensetzen.

Das Problem des Unendlichen übt auf Schülerinnen und Schüler in der Regel eine große Faszination aus. Häufig sind es die Paradoxien, die vermeintliche Sicherheiten aufbrechen und zu tiefergehenden Fragen führen. Im Mittelpunkt des Projekts soll deshalb auf keinen Fall eine Darstellung verschiedener Theorien, mathematischer Definitionen und naturphilosophischer Aussagen stehen. Vielmehr sollten aus einer Betroffenheit der Schülerinnen und Schüler heraus Perspektiven erarbeitet werden, wie man in unterschiedlichen Epochen einerseits und in den verschiedenen Wissenschaften andererseits versucht, sich geistig mit der Herausforderung des Unendlichen auseinanderzusetzen.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für drei weitere Fächergruppen Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvorhabens "Das Problem des Unendlichen" ist es jedoch nicht erforderlich, daß sich alle Fächer beteiligen und alle aufgeführten Themen und Aspekte behandelt werden. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden. Es ist auch möglich, nur einen einzigen der genannten Aspekte aufzugreifen und diesen aus der Perspektive der verschiedenen Fächer zu beleuchten.

Im Mittelpunkt dieser Unterrichtsreihe steht die Betrachtung logischer Strukturen beim Argumentieren, Begründen und Beweisen in verschiedenen Fachgebieten. Daran anknüpfend kann das Verhältnis zwischen natürlicher Sprache und wissenschaftlicher Terminologie thematisiert werden.

Die Analyse der logischen Struktur von mathematischen Sätzen, Satzsystemen und ihrer Beweise führt zu einem tieferen Verständnis des Aufbaus der Mathematik als Wissenschaft und sie erleichtert es, mathematische Sätze zu verstehen, Beweisansätze zu finden und einen Beweis zielgerichteter zu führen. Der Vergleich mit dem Definieren, Begründen und Beweisen in anderen Fächern zeigt gemeinsame logische Strukturen auf, fördert damit die Fähigkeit zu folgerichtigem Argumentieren und verhilft zu der Einsicht, sich an einmal getroffene Vereinbarungen zu halten.

Das Verhältnis zwischen natürlicher Sprache und wissenschaftlicher Terminologie ist unter anderem durch kontextabhängige Begriffe einerseits und kontextfreie Definitionen andererseits gekennzeichnet. Während in der Sprache des alltäglichen Umgangs ein Wort seine Bedeutung insbesondere durch Sätze erhält, in denen es vorkommt, benötigt die Sprache der Wissenschaft kontextfreie Wortbedeutungen. Sie weist im Gegensatz zur natürlichen Sprache, zumindest in Teilbereichen, Merkmale formaler Systeme auf. Am Beispiel der Sprache der Mathematik läßt sich das besonders gut verdeutlichen, da sie, wie kaum eine andere Wissenschaftssprache, durch die formale Logik geprägt ist.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und drei weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema "Argumentieren und Beweisen" leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvorhabens ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, daß sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden. Es ist auch möglich, nur einzelne der aufgeführten "möglichen Beiträge" herauszugreifen und diese aus der Sicht verschiedener Fächer zu betrachten.

Eine Unterrichtsreihe zu diesem Thema widmet sich der Erzeugung, der Analyse und der Interpretation gotischer Maßwerkfenster. Das Thema ist wie kaum ein anderes geeignet, exemplarisch zu zeigen wie ein Kunstwerk unter Einbeziehung vielfältiger philosophisch-religiöser, historischer, kunstgeschichtlicher und mathematischer Aspekte verstanden, interpretiert und "erlebt" werden kann. Ein breitgefächert arbeitsteiliges Vorgehen ist leicht möglich.

Obwohl das Konstruieren mit Zirkel und Lineal für dieses Thema sicher grundlegend ist, so ist es doch oft mühsam und mit der erforderlichen Genauigkeit kaum durchführbar. Erst die rechnerische Durchdringung schafft die Voraussetzungen, Konstruktionen auf den Computer zu übertragen. So werden auch umfangreiche Rosettenfenster, Friese oder ganze Fassaden "konstruierbar". Das moderne Hilfsmittel ermöglicht mit seiner Präzision das "mittelalterliche Erleben" einer exakten Konstruktion in ihrer Ganzzahligkeit und oft genialen Einfachheit. Auch lässt sich für manche schwierige Konstruktion rechnerisch nachprüfen, ob sie wirklich das leistet, was sie vorgibt. Umgekehrt ermöglicht die Rechnung oft das Finden einer Konstruktionsmöglichkeit. Die Notwendigkeit, geometrische Abbildungen wie Verschiebung, Drehung, Streckung rechnerisch zu beschreiben, wird augenscheinlich. Computergrafische Grundlagen lassen sich am begrenzten Problem beziehungsreich vermitteln.

Im Folgenden sind für das Fach Mathematik und für fünf weitere Fächer Beiträge aufgeführt, die sie zu dem Thema leisten können. Zur Durchführung eines fächerverbindenden Unterrichtsvorhabens "Gotische Maßwerke" ist es jedoch nicht unbedingt erforderlich, dass sich alle diese Fächer beteiligen. Je nachdem, welche inhaltlichen Schwerpunkte gesetzt werden sollen, kann ein solches Unterrichtsvorhaben in Verbindung von Mathematik mit nur einem anderen Fach durchgeführt werden, auch wenn dadurch nur einzelne der "möglichen Beiträge" berücksichtigt werden.